Отношения между множествами и операции над ними

Отношения между множествами

Выше мы встретились с тем, что одно множество может являться частью другого. В самом общем случае все множества являются частью универсума - множества, включающего в себя все мыслимые множества (в рамках конкретной задачи).

Такое отношение называется включением множества A в множество B:
A ⊆ B, если каждый элемент множества A является также элементом множества B.
В этом случае множество B включает в себя множество А.

Говорят, что множество А строго включено в множество B, если А включено в B и не равно ему:
A ⊂ B
В этом случае множество B строго включает в себя множество А; А является собственным множеством множества В.

Собственное множество — множество, которое является частью другого и не равно ему. В обоих случаях принято называть множество А подмножеством множества В; в свою очередь, множество В будет надмножеством множества А.

Два множества A и B будут равны, если каждый элемент A будет также являться элементом B, и каждый элемент множества B будет также являться элементом A
A = B
В таком случае можно сказать, что каждое из них будет подмножеством (надмножеством) другого.

Говорят, что множества не пересекаются, если у них нет общих элементов.

Множества A и B находятся в общем положении, если существует элемент (хотя бы один), принадлежащий исключительно множеству A, элемент, принадлежащий исключительно множеству B, а также элемент, принадлежащий обоим множествам.

Операции над множествами

Если имеется два множества или более, то с ними можно выполнить ряд операций. К таким операциям относятся:
- пересечение,
- объединение,
- дополнение,
- разность,
- симметрическая разность.
Все перечисленные операции, кроме дополнения, являются бинарными, т. е. выполняющимися с двумя множествами. Дополнение — унарная операция (выполняемая с одним множеством), которая, однако, может быть осуществлена лишь с учётом всех других множеств, предоставленных по условию задачи: дополнение всегда осуществляется до конкретного множества.
При этом пересечение, объединение и дополнение являются базовыми операциями, через которые могут быть выражены остальные.



Пересечение множеств

Пересечение множеств (обозначается X ∩ Y) — множество, включающее в себя элементы, которые одновременно входят в состав каждого из исходных множеств.

Персечение показано оранжевым цветом.

Можно сказать, что пересечение содержит элементы, общие для обоих множеств.

Операция пересечения коммутативна и ассоциативна:
1. X ∩ Y = Y ∩ X;
2. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C;

Очевидно, что мощность пересечения не превосходит наименьшую мощность пересекающихся множеств:
|X ∩ Y| ≤ min (|X|,|Y|)

Пример

Задача. Даны множества A, B и C, которые представлены следующими элементами: A = {1, 2, 4, 5}, B = {1, 3, 5}, C = {4, 5, 6}. Какими элементами образованы все возможные пересечения этих множеств?

---

Решение. Из определения пересечения следует, что из пересекающихся множеств в результирующее следует отобрать только те элементы, которые присутствуют во всех множествах одновременно. Тогда:
1) A ∩ B = {1, 2, 4, 5} ∩ {1, 3, 5} = {1, 5};
2) A ∩ C = {1, 2, 4, 5} ∩ {4, 5, 6} = {4, 5};
3) B ∩ C = {1, 3, 5} ∩ {4, 5, 6} = {5};
4) A ∩ B ∩ C = {1, 2, 4, 5} ∩ {1, 3, 5} ∩ {4, 5, 6} = {5}.
Пересечение трёх множеств, которое показано последним, логично получать поочерёдным пересечением каких-либо двух множеств (по ассоциативности этого действия).
4) (A ∩ B) ∩ C = ({1, 2, 4, 5} ∩ {1, 3, 5}) ∩ {4, 5, 6} = {1, 5} ∩ {4, 5, 6} = {5}.

Объединение множеств

Объединение множеств (обозначается X ∪ Y) — множество, включающее в себя все элементы, входящие в состав хотя бы одного из исходных множеств.

 Объединение показано оранжевым цветом.

Операция объединения также коммутативна и ассоциативна.

Объединением множеств является множество, включающее в себя каждое из объединяемых множеств

Дополнение

Дополнение множества (обозначается ∁Y или Ẏ) — другое множество, включающее в себя все элементы, не входящие в состав исходного.

Дополнение множества Y ⊆ X показано оранжевым цветом.

Под ∁Y подразумеваются все элементы, НЕ относящиеся к Y. Таким образом, ∁Y можно назвать "множеством НЕ Y", т. е. не имеющим с Y общих точек.

Несмотря на то, что операция дополнения является унарной, наличие другого множества учитывается.
Понятно, что исходное множество Y должно являться частью другого (X), на котором можно выбирать не принадлежащие Y элементы. Если множества Y и X совпадают, то дополнением Y является пустое множество.

Из математической записи дополнения напрямую не следует, до какого именно множества дополняется указанное. Cчитается, что дополнение всегда выполняется до универсума.

Разность множеств

Разность множеств (обозначается X \ Y) — подмножество множества X, включающее в себя элементы X, не относящиеся к множеству Y.

 Разность множеств показана оранжевым цветом.

Можно выделить четыре случая определения двух множеств, при которых их разность представляется отличающимися результатами, хотя эти результаты очевидны.
1. Пусть Y ⊊ X. Тогда X \ Y = X ∩ ∁Y, Y \ X = ∅.
2. Если Y = X, то X \ Y = Y \ X = ∅.
3. Предположим, что X ∩ Y ≠ ∅. Тогда X \ Y = X \ (X ∩ Y), хотя это равенство действительно всегда (как, впрочем, и X \ Y = X ∩ ∁Y). Эти равенства останутся справедливыми, если в них заменить X на Y и наоборот.
4. Наконец, последний случай, при котором X и Y не пересекаются (не имеют общих точек): X ∩ Y = ∅. Тогда X \ Y = X, Y \ X = Y.

Для вычисления мощности разности множеств чаще всего используется следующая формула:

|X \ Y|=|X|-|X ∩ Y|

Симметрическую разность мы рассмотрим позднее.

При подготовке использованы материалы сайта ИнфоКонсалтинг.