Не новость, что информатика неразрывно связана с математикой, и подготовка к сдаче ЕГЭ требует актуализации знаний по многим темам, оказавшимся "на обочине" школьного курса.
В школьном курсе математики отводится очень мало времени на такой обширный и важный раздел, как теория множеств, хотя множества как таковые встречаются довольно часто; в то же время, в рамках ЕГЭ по информатике экзаменуемым предлагается задача, решение которой полностью основано на действиях со множествами.
Рассмотрим основные определения теории множеств.
Теория множеств — это раздел дискретной математики , в котором рассматриваются множества, их свойства и операции над ними.
Само понятие множества вводится аксиоматически и не может быть определено через какие-либо элементарные понятия. Однако мы можем дать описательное определение множества, например, в формулировке Бертрана Рассела:
Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое.
Согласно Георгу Кантору, под множеством мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться элементами множества M).
Из любого определения следует, что все элементы множества различны и уникальны. Если два элемента совпадают, считается, что они представляют собой один и тот же элемент.
Множество может не содержать ни одного элемента. Аксиоматически определено, что существует единственное такое множество, поэтому ему можно дать имя.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством, и обозначается как ∅ либо { }.
Существует и противоположное ему по смыслу множество, универсум или универсальное множество, которое включает в себя все мыслимые объекты - все множества, участвующие в рассматриваемой задаче. Универсальное множество обычно обозначается как U.
Множества чаще всего обозначают большими буквами латинского алфавита, его элементы — маленькими. Если а — элемент множества А, то записывают а ∈ А ("а принадлежит А"). Если а не является элементом множества А, то записывают а ∉ А ("а не принадлежит А").
Элементы множества показывают в фигурных скобках: перечислением или записью, из которой видна математическая зависимость принадлежности элементов множеству.
Например, мы можем записать множество M действий пешехода в зависимости от сигнала пешеходного светофора:
M = {К, З, МЗ} , где К - красный, З - зелёный, М - мигающий зелёный.
Видно, что в этой записи не учитывается реально существующая вероятность того, что светофор не будет работать. Более правильной записью будет следующая:
М = {К, З, М, ∅}, где ∅ указывает на невозможность принятия решения.
Чтобы представить себе запись с использованием указания принадлежности элементов множеству, рассмотрим игральную кость с нанесёнными на её грани обозначениями чисел от 1 до 6. Будем бросать эту игральную кость n раз. Тогда результаты выпадения можно представить как множество, каждый из элементов которого будет являться натуральным числом от 1 до 6:
A = {ω: ω = (a1, …, an), ai ∈ {1, …, 6}}, где ω — очередной элемент множества A, содержащий упорядоченный (поскольку в круглых скобках) набор чисел, выпавших при каждом из бросаний.
Количество элементов множества называется мощностью множества. Мощность множества может быть конечной, а может и бесконечной величиной.
Мощность пустого множества равна нулю.
|∅| = 0
Например:
|M| = 3 для M = {К, З, М}
|M| = 4 для M = {К, З, М, ∅}
В школьном курсе математики отводится очень мало времени на такой обширный и важный раздел, как теория множеств, хотя множества как таковые встречаются довольно часто; в то же время, в рамках ЕГЭ по информатике экзаменуемым предлагается задача, решение которой полностью основано на действиях со множествами.
Рассмотрим основные определения теории множеств.
Теория множеств — это раздел дискретной математики , в котором рассматриваются множества, их свойства и операции над ними.
Само понятие множества вводится аксиоматически и не может быть определено через какие-либо элементарные понятия. Однако мы можем дать описательное определение множества, например, в формулировке Бертрана Рассела:
Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое.
Согласно Георгу Кантору, под множеством мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться элементами множества M).
Из любого определения следует, что все элементы множества различны и уникальны. Если два элемента совпадают, считается, что они представляют собой один и тот же элемент.
Множество может не содержать ни одного элемента. Аксиоматически определено, что существует единственное такое множество, поэтому ему можно дать имя.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством, и обозначается как ∅ либо { }.
Существует и противоположное ему по смыслу множество, универсум или универсальное множество, которое включает в себя все мыслимые объекты - все множества, участвующие в рассматриваемой задаче. Универсальное множество обычно обозначается как U.
Множества чаще всего обозначают большими буквами латинского алфавита, его элементы — маленькими. Если а — элемент множества А, то записывают а ∈ А ("а принадлежит А"). Если а не является элементом множества А, то записывают а ∉ А ("а не принадлежит А").
Элементы множества показывают в фигурных скобках: перечислением или записью, из которой видна математическая зависимость принадлежности элементов множеству.
Например, мы можем записать множество M действий пешехода в зависимости от сигнала пешеходного светофора:
M = {К, З, МЗ} , где К - красный, З - зелёный, М - мигающий зелёный.
Видно, что в этой записи не учитывается реально существующая вероятность того, что светофор не будет работать. Более правильной записью будет следующая:
М = {К, З, М, ∅}, где ∅ указывает на невозможность принятия решения.
Чтобы представить себе запись с использованием указания принадлежности элементов множеству, рассмотрим игральную кость с нанесёнными на её грани обозначениями чисел от 1 до 6. Будем бросать эту игральную кость n раз. Тогда результаты выпадения можно представить как множество, каждый из элементов которого будет являться натуральным числом от 1 до 6:
A = {ω: ω = (a1, …, an), ai ∈ {1, …, 6}}, где ω — очередной элемент множества A, содержащий упорядоченный (поскольку в круглых скобках) набор чисел, выпавших при каждом из бросаний.
Количество элементов множества называется мощностью множества. Мощность множества может быть конечной, а может и бесконечной величиной.
Мощность пустого множества равна нулю.
|∅| = 0
Например:
|M| = 3 для M = {К, З, М}
|M| = 4 для M = {К, З, М, ∅}
Комментариев нет:
Отправить комментарий